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Les mathématiques sont bien vivantes

Nombre d'objets qui nous entourent fonctionnent grâce à elles : les mathématiques sont plus que jamais une science vivante. Jean-Pierre Bourguignon, directeur de recherche au CNRS et directeur de l'Institut des Hautes Études Scientifiques, milite pour que l'image de science désuète qu'on leur prête n'ait plus cours.

Elèves au tableauL’enseignement des mathématiques, trop déconnecté des applications concrètes, est sans doute en grande partie responsable de l’image dont souffre cette science.
© SXC

Téléphones portables, sécurité des véhicules, cartes à puce, disques durs… Aujourd'hui, on ne compte plus les objets de la vie courante pour lesquels l'utilisation de mathématiques avancées a été une des clés de leur développement. Et bien souvent, les concepts qui se cachent derrière ces applications ont été créés au départ à des fins purement théoriques. "Des préoccupations internes aux mathématiques se retrouvent ainsi absorbées par la technologie de façon imprévisible", résume Jean-Pierre Bourguignon, mathématicien et directeur de l'Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS). Pour le chercheur, il est donc indispensable de montrer au public que les mathématiques ne sont pas une langue morte mais qu'elles sont bel et bien vivantes. Et qu'elles continuent à résonner avec la société.

Jean-Pierre Bourguignon pointe sur une des lacunes de l'enseignement des mathématiques en France. Pour lui, les étudiants ne sont pas suffisamment sensibilisés à l'actualité de cette discipline. "Prenez les classes préparatoires aux grandes écoles, on y enseigne des maths connues depuis 1850, constate le mathématicien. Il en est de même dans l'enseignement secondaire où les enseignants sont forcés de porter toute l'attention sur les acquis techniques des élèves sans faire appel à leur imagination." Autre lacune : la quasi-absence dans l'enseignement des mathématiques discrètes - celles qui étudient les structures finies -, même si un peu de théorie des graphes est apparue au lycée en section ES. Avec l'explosion de l'informatique, elles ont pourtant pris une place beaucoup plus centrale dans le développement des mathématiques. "Mais les mathématiciens ont aussi leur part de responsabilité dans l'image vieillotte qui colle à leur science. Trop d'entre eux ont tendance à exclure du domaine des mathématiques des recherches qui en réalité en font partie", regrette Jean-Pierre Bourguignon.

Certains plus ouverts l'ont bien compris, et on voit de plus en plus souvent se mettre en place des équipes mixtes, constituées ici de mathématiciens et de biologistes, et là de mathématiciens et d'informaticiens… En génomique par exemple, l'apport des statistiques et des probabilités est essentiel car il faut analyser une quantité énorme d'informations écrites avec les quatre bases de l'ADN. Des problèmes initialement de nature strictement mathématiques trouvent donc des applications dans d'autres disciplines. Et à leur tour, ces recherches peuvent créer de nouvelles pistes pour les mathématiques. "Mais, insiste Jean-Pierre Bourguignon, les courts-circuits inattendus qui ont eu lieu récemment entre recherche fondamentale et recherche appliquée ne pourront continuer à se produire que si les mathématiciens théoriciens gardent leur liberté de créer."

01.Enseignement : peut mieux faire

maths vivantes4Même à très haut niveau, l’enseignement des mathématiques mérite d’être revu. On y apprend des notions connues depuis le XIXe siècle, au détriment de nouveaux concepts.
© Flickr.com

Qui aurait cru que les mathématiques avancées feraient un jour irruption dans les marchés financiers et le secteur bancaire, permettant d'évaluer le risque lié à un investissement ? C'est pourtant ce à quoi on assiste depuis une trentaine d'années dans le monde. Les produits financiers qui voient le jour s'appuient sur des concepts mathématiques élaborés d'abord par des mathématiciens spécialistes des probabilités. Le monde de la finance est devenu une sorte de laboratoire grandeur nature qui a permis d'approfondir certaines théories mathématiques et même d'en créer de nouvelles.

Cet exemple, parmi d'autres, illustre bien les nouvelles relations qu'entretiennent les mathématiques avec le monde réel et ses applications. "Aujourd'hui, on assiste à de plus en plus d'échanges entre la recherche fondamentale, dont les motivations sont purement internes, et la recherche appliquée", souligne Jean-Pierre Bourguignon.

Pourtant, la plupart des jeunes élèves jugent les mathématiques comme une matière dont l'ambition se limiterait à apprendre à compter et à résoudre des problèmes immuables. "Il faudrait aussi leur montrer que cette discipline est ancrée dans leur vie quotidienne, que l'abstraction qui en est le fondement est enracinée dans la réalité", insiste Jean-Pierre Bourguignon. Dans ce sens, le mathématicien a l'idée de créer une base de données qui pourrait être mise à la disposition des professeurs de l'enseignement secondaire. Son but : faire découvrir aux élèves que les concepts qu'ils apprennent s'incarnent dans les objets qui les entourent. Un exemple parmi d'autres : dans les logiciels de dessin, pour créer une forme assez compliquée, comme une main ou un visage, on utilise un outil qui lisse un tracé un peu anguleux, faisant appel aux courbes de Bézier. Et ces courbes s'expriment sous la forme de polynômes, des objets mathématiques que les collégiens et les lycéens connaissent bien. Les polynômes sont aussi utilisés pour optimiser le tracé des lignes de chemins de fer.

Le portable, une des applications des mathématiquesDerrière de nombreux appareils de la vie courante, on trouve des applications mathématiques. Le téléphone portable est du nombre.
© B.Turquier
Et les a priori sur les mathématiques existent aussi à un niveau d'études plus élevé : dans les classes préparatoires aux grandes écoles, les étudiants ont souvent du mal à se faire une idée de ce que sont les mathématiques aujourd'hui. Pourtant les exemples ne manquent pas. À commencer par les liens étroits entre l'informatique et les mathématiques. Ainsi, avec les ordinateurs, le champ d'application de la modélisation mathématique s'est considérablement élargi et a permis d'utiliser une partie beaucoup plus grande du savoir-faire développé au préalable par les mathématiciens. À son tour, l'informatique a suggéré de nouvelles pistes à explorer en mathématiques. Elle a notamment donné une nouvelle jeunesse aux mathématiques discrètes, celles qui étudient des structures constituées d'un nombre fini d'éléments.

"Malheureusement, note Jean-Pierre Bourguignon, très peu de cursus d'enseignement supérieur offrent une formation suffisamment complète en mathématiques discrètes." On retrouve cette situation paradoxale dans le domaine de la recherche opérationnelle - qui vise à résoudre des problèmes d'organisation et de planification des tâches, par exemple dans un processus industriel ou dans un service - et dans celui des statistiques, utilisées notamment pour les sondages d'opinion. Là encore, ces branches des mathématiques sont comparativement peu représentées en France. Et cette fois, la responsabilité est, semble-t-il, du côté des mathématiciens. Ceux-ci ont eu tendance à exclure du champ des mathématiques l'actuariat dont l'objet est de calculer les risques statistiques encourus par les assurances et les groupes financiers. "Ceci au nom d'un purisme qui n'est pas justifié", affirme le directeur de l'IHÉS.

02.Échanger avec les spécialistes d'autres sciences et avec le monde industriel

math vivantes 5L'utilisation du microscope mathématique (transformée en ondelettes) pour analyser la complexité du génome permet d'extraire des informations structurelles sur le compactage de l'ADN dans le noyau cellulaire. Cette image donne une représentation espace(x)/échelle(y) de l'organisation hiérarchique (arborescente) des séquences d'ADN où est codée cette information structurelle.
© Alain ARNEODO/CNRS Photothèque
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L'avenir semble donc appartenir aux plus curieux et aux plus ouverts des mathématiciens. Voilà pourquoi certains d'entre-eux travaillent désormais avec des biologistes, notamment des spécialistes du génome, d'autres avec des chimistes, des physiciens, des astronomes… La pluridisciplinarité n'est pas vraiment dans les habitudes de la recherche française, mais le mouvement est bel et bien lancé. "En génomique, on avait cru pouvoir se passer des mathématiques dans le séquençage de l'ADN et se contenter de l'informatique, rappelle Jean-Pierre Bourguignon. En fait, il n'en est rien. Devant la quantité gigantesque d'informations que représente le génome d'un être vivant et la difficulté de séparer l'information pertinente du bruit, il a fallu faire appel aux probabilités et aux statistiques. Les généticiens s'en servent typiquement pour déterminer quelles parties de l'ADN sont codantes et lesquelles ne le sont pas."

Ainsi, des problèmes mathématiques prennent naissance ou s'étoffent parce qu'ils apportent des réponses aux questions posées par d'autres scientifiques. La biologie apparaît aujourd'hui comme un secteur porteur pour les mathématiciens. L'expérience suivante en est la parfaite illustration. Des biologistes de l'hôpital Necker à Paris voulaient disposer d'une méthode pour caractériser le vieillissement d'une culture de bactéries. Ce sont des mathématiciens qui leur ont proposé un tel outil. Dans un premier temps, une caméra filme la culture en train de croître. Ensuite, on associe à l'histoire des divisions de cette culture de bactéries un objet mathématique de structure discrète, appelé arbre. Les mathématiciens peuvent ensuite étudier les propriétés de cet arbre et en calculer un invariant géométrique pour "suivre" l'âge des bactéries. C'est également un arbre, dit phylogénétique cette fois, qui permet de calculer la distance dans le processus de l’évolution qui sépare deux espèces biologiques distinctes. Bien sûr, ce concept mathématique d'arbre était déjà connu mais, en trouvant une application concrète, il a été mis en valeur et de nouveaux problèmes à leur propos se trouvent posés. Du coup, il est davantage étudié actuellement par les mathématiciens. "Les recherches pluridisciplinaires permettent un va-et-vient permanent entre une théorie mathématique et ses applications", se réjouit Jean-Pierre Bourguignon. Celui-ci sait de quoi il parle puisque l'IHÉS fait se rencontrer des mathématiciens, des physiciens théoriciens, et des biologistes... mais aussi des spécialistes d'autres sciences.

De la même façon, le monde industriel est un creuset d'idées pour la recherche mathématique. Les applications potentielles y sont nombreuses. L'exemple le plus parlant est sûrement celui de la finance et de l'économie. Mais pas seulement. Aujourd'hui, des objets d'usage aussi répandus que les téléphones portables font appel à des théories mathématiques récentes pour acheminer une conversation avec le moins d'erreurs possibles ou encore éviter que deux utilisateurs proches ne se servent de la même fréquence d'appel. Pour passer une commande sur Internet avec sa carte de crédit, les informations doivent être cryptées. Là encore, les mathématiques sont à l'œuvre puisque la théorie des nombres premiers va garantir la confidentialité de la transaction. Dans les codes à clef publique utilisés dans la sécurité des communications militaires, la seule information accessible est le produit de deux nombres premiers et il est normalement impossible, sans connaître l'un, de remonter jusqu'à l'autre.

03.Du concept aux applications

Professeur à l'oeuvreAujourd’hui, on assiste à de plus en plus d’échanges entre la recherche fondamentale et la recherche appliquée.
© Genopole
Malgré l'apparente banalité avec laquelle les concepts mathématiques trouvent des applications, il est difficile aujourd'hui de savoir quelles théories porteront effectivement leurs fruits. "Ces courts-circuits se produisent souvent de façon totalement imprévisible. Certains concepts, abstraits par définition, se retrouvent pertinents pour une situation concrète sans que l'on comprenne immédiatement pourquoi", constate le chercheur.

Pour lui, "il n'est donc pas possible de privilégier telle ou telle branche des mathématiques et surtout, il serait absurde de limiter la recherche scientifique à une recherche finalisée. Cela implique deux choses : chaque mathématicien doit assumer sa spécialité et en même temps il doit regarder ce qui se passe ailleurs, chez les autres mathématiciens comme dans les autres domaines de recherche." C'est bien sûr un scénario idéal, difficile à mettre en place. Dans la réalité, on provoque ces rencontres. Qui peuvent déboucher sur la mise en place d'équipes pluridisciplinaires. Il arrive également que des industriels aillent au-devant des mathématiciens et fassent appel à leur compétence dans le cadre de projets ponctuels. Pour Jean-Pierre Bourguignon, il faudrait créer davantage de lieux d'échanges où les deux univers puissent confronter leurs points de vue. Comme c'est déjà le cas à Oxford, en Angleterre, où se croisent des ingénieurs et des chercheurs dans des groupes d'études de problèmes industriels.

"De tels rapprochements sont vitaux à la fois pour la dynamique de la recherche et de la société tout entière, affirme le directeur de l'IHÉS. Pour que cela fonctionne, il faut trouver un juste équilibre entre les modes de vie du monde académique et celui de la recherche appliquée." D'un côté, les mathématiciens ne doivent pas ignorer l'apport considérable des autres disciplines sur les mathématiques. De l'autre, les acteurs de la recherche appliquée doivent laisser suffisamment de liberté aux mathématiciens pour qu'ils proposent des approches "sauvages". Sans quoi, les théories mathématiques d'aujourd'hui ne pourront pas conduire demain, peut-être, à la conception de nouvelles technologies qui s'installeront dans notre vie quotidienne.

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